29790 高等几何
高纲0870
江苏省高等教育自学考试大纲
29790 高等几何
江苏教育学院编
江苏省高等教育自学考试委员会办公室
一、 课程性质及其设置目的与要求
（一）课程性质与特点
《高等几何》是高等师范院校数学与应用数学专业的重要基础课程之一，本课程在学生具备初等几何、解析几何与高等代数知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使他们能用变换群观点来看待几何学，加深对几何学和几何空间概念的理解。本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。
本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。
（二）课程设置目的与要求
课程内容包括：变换群与几何学；射影平面；射影变换；二次曲线的射影理论；射影几何的子几何。
课程设置目的和要求：一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维能力，为进一步学习其他课程打下基础。另一方面使学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解, 使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础。
二、 课程内容与考核目标
第一章 变换群与几何学
（一）课程内容
1．变换与变换群
2．仿射坐标和仿射平面
3．仿射变换
4．欧氏平面和保距变换
5．几何学与变换群的关系
（二）学习与考核要求
本章是基于变换群的观点，对几何学的高度抽象概括，给出研究几何学的变换群观点。掌握仿射变换的定义、性质和代数表达式；理解仿射坐标和图形的仿射性质，掌握仿射对应图形；掌握保距变换的性质和代数表达式；特别是基本仿射不变性---平行性和基本仿射不变量---单比，及其计算方法。
第二章 射影平面
（一）课程内容
1．扩大仿射平面
2．射影平面
3．交比与调和共轭
4．对偶原理
（二）学习与考核要求
本章作为学习全课程的基础和中心内容，重点讲解欧氏平面的拓展过程，在此基础上给出射影直线和影射平面的概念和模型，使得学生明确了解欧氏直线和射影直线、欧氏平面和影射平面的区别和联系。要求考生灵活运用Desargues 定理及其逆定理，它是证明三点共线和三线共点的有效工具之一。齐次坐标是本章的重点和难点，要求考生掌握并正确使用，会求两点连线方程及两直线交点坐标、会判断三点是否共线。对偶原理是射影几何的灵魂（包括几何对偶和代数对偶），要求考生掌握并灵活应用，会作对偶图形，会写对偶命题。而交比是射影基本不变量，它是研究射影变换的工具和基础，要求熟练掌握交比与调和比的概念、性质、应用及计算方法。掌握完全四点形的调和性及其性质，并能灵活运用。
第三章 射影变换
（一）课程内容
1．一维射影变换
2．直射变换
3．对射变换与配极
（二）学习与考核要求
本章是射影几何的中心内容和基础理论，掌握透视对应与射影对应的关系，重点掌握一维射影对应、一维射影变换和直射（二维射影）变换的概念、性质、代数表达式及其求法；掌握一维射影变换及直射（二维射影）变换的不动元素及其求法。掌握对合的表达式及求法与对合不动元素及其求法。掌握配极的极点、极线的概念和求法；掌握配极原则的应用、利用自极三点形化配极为标准形式。
第四章 二次曲线的射影理论
（一）课程内容
1．配极变换与二次曲线
2．一维射影对应与二次曲线
3．二阶曲线的影射分类
（二）学习与考核要求
本章是以二次曲线为研究对象，重点讲述二阶曲线和二级曲线的概念和配极理论。要求熟练掌握二阶曲线的切线、极点、极线的概念和求法；熟练掌握帕斯卡定理、布利安香定理及配极原则并能灵活应用；理解二阶曲线的射影分类，并掌握利用射影坐标变换化二阶曲线方程为射影标准方程。
第五章 射影几何的子几何
（一）课程内容
1．无穷远直线与仿射几何
2．圆环点与欧氏几何
（二）学习与考核要求
熟练掌握仿射变换的定义、性质和代数表达式；熟练掌握二阶曲线的中心，直径与共轭直径，渐进线等概念，能应用有关定义、性质和公式求解相关问题。了解二阶曲线的仿射分类，熟练掌握利用仿射坐标变换化二次曲线方程为仿射标准方程。
注：本章考试内容以第1节为主。
三、 有关说明
（一）教材及参考书目：
自学教材：罗崇善等编著，《高等几何》，高等教育出版社，2006年。
参考书目：《高等几何》，梅向明，刘增贤等编，高等教育出版社，第二版。
《高等几何》，周兴和，科学出版社，2003年版。
自学和命题以考试大纲为主要依据，在掌握了考试大纲要求的内容同时，以例题和习题为重点。
（二）自学方法的指导
本课程作为一门专业课程，综合性强，自学者在自学过程中应该注意以下几点：
1．本课程在学生具备初等几何、解析几何与高等代数知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，因此，自习前，要注意知识的积累与衔接。应仔细阅读课程大纲了解课程的性质、地位和任务，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。
2．所配教材只是一个参考，自学中应结合本课程大纲和参考书目，熟练掌握基本概念和方法的同时，能结合具体例子进行练习和运用，以达到本课程的要求。
（三）对社会助学的要求
1．应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章的知识点。
2．对考生进行辅导时，除了以指定的教材为基础外，应以考试大纲为依据，关注补充参考书目，注重提高学生分析问题、解决问题的能力。
（四）关于命题和考试的若干规定
1．本大纲各章所提到的考核要求中，各条细目都是考试的内容，试题覆盖到章，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。
2．试题难度结构要合理，记忆、理解、综合性试题比例大致为3：5：2。
3．本课程考试试卷可能采用的题型有：填空题、作图题、计算题、证明题（见附件题型示例）。
4．考试方式为闭卷笔试，考试时间为150分钟，评分采用百分制，60分为及格。
注：打 * 的章节不作要求。
附录：题型举例
填空题
平行四边形的仿射图形是 平行四边形 。
作图题
已知三点A、B、C，求作一点D，使（AB，CD）＝－1（在图中注明点D）。
解： D 即为所求
计算题
例 已知四点。
1）将的坐标表示为的形式； 2）求交比。
解 1）设
经计算：。 （4分）
2）∵ （2分）
∴ （3分）
证明题：
例 在内接于圆的两个三点形和中，设 ，证明： 三点共线。
证明： 考虑简单六点形，
由帕斯卡定理：三对对边交点共线， （4分）
而三对对边交点分别为.
∴ 三点共线。 （4分）